Question

5．某地高中年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知這些學(xué)生的原始成績均分布在[50，100]內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制，各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表，并規(guī)定：A，B，C 三級為合格，D 級為不合格．

百分制	[85，100]	[70，85）	[60，70）	[50，60）
等級	A	B	C	D

為了了解該地高中年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n 名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示．
（Ⅰ）求n及頻率分布直方圖中 x，y 的值；
（Ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計(jì)思想方法，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該地高中學(xué)生中任選3 人，求至少有1人成績是合格等級的概率；
（Ⅲ）上述容量為n 的樣本中，從 A、C 兩個(gè)等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取了3 名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，記ξ為所抽取的3 名學(xué)生中成績?yōu)?nbsp;A 等級的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖及莖葉圖能求出n及頻率分布直方圖中 x，y 的值．
（Ⅱ）成績是合格等級人數(shù)為45人，抽取的50人中成績是合格等級的頻率為$\frac{9}{10}$，得到從該校學(xué)生中任選1人，成績是合格等級的概率為$\frac{9}{10}$，設(shè)在該校高一學(xué)生中任選3人，至少有1人成績是合格等級的事件為A，利用對立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1人成績是合格等級的概率．
（Ⅲ）由題意C等級學(xué)生人數(shù)為9人，A等級的人數(shù)為3人，則ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）由題意知樣本容量n=$\frac{6}{0.012×10}$=50，
x=$\frac{2}{50×10}$=0.004．
y=$\frac{1-0.04-0.1-0.12-0.56}{10}$=0.018．
（Ⅱ）成績是合格等級人數(shù)為：（1-0.1）×50=45人，
抽取的50人中成績是合格等級的頻率為$\frac{9}{10}$，
故從該校學(xué)生中任選1人，成績是合格等級的概率為$\frac{9}{10}$，
設(shè)在該校高一學(xué)生中任選3人，至少有1人成績是合格等級的事件為A，
則P（A）=1-（1-$\frac{9}{10}$）³=$\frac{999}{1000}$．
（Ⅲ）由題意C等級學(xué)生人數(shù)為0.18×50=9人，A等級的人數(shù)為3人，
∴ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{55}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{21}{55}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{1}{220}$

E（ξ）=$0×\frac{21}{55}+1×\frac{27}{55}+2×\frac{27}{220}+3×\frac{1}{220}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查考查頻率分布直方圖、莖葉圖、概率、離散型機(jī)變量分布列等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題．