Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=4
（1）若（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=-20，求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角及|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|
（2）在矩形ABCD中，CD的中點(diǎn)為E，BC的中點(diǎn)為F，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，試用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$，并求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$ 的值．
（2）根據(jù)兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，求得$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=4，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=-20，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，θ∈[0，π]，
則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$=2•4•cosθ-16=-20，求得cosθ=-$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{2π}{3}$．
∴|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{9\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{36+16+6•2•4•（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{7}$．
（2）$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$=$\frac{\overrightarrow{a}}{2}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{\overrightarrow{AD}}{2}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{\overrightarrow}{2}$，
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\overrightarrow{a}}{2}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\frac{\overrightarrow}{2}$）=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{2}$+$\frac{{\overrightarrow}^{2}}{2}$+$\frac{5\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{4}$=$\frac{4}{2}$+$\frac{16}{2}$+0=10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．