Question

11．在平面直角坐標系中，已知點F（1，0），直線l：x=-1，動直線l′垂直l于點H，線段HF的垂直平分線交l′于點P，設點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）以曲線C上的點P（x₀，y₀）（y₀＞0）為切點作曲線C的切線l₁，設l₁分別與x，y軸交于A，B兩點，且l₁恰與以定點M（a，0）（a＞2）為圓心的圓相切，當圓M的面積最小時，求△ABF與△PAM面積的比．

Answer 1

分析 （1）由丨PH丨=丨PF丨，根據拋物線的定義，點P的軌跡是以l為準線，F(xiàn)為焦點的拋物線，即可求得拋物線方程；
（2）由y＞0時，求導，求得切線斜率，利用點斜式方程即可求得切線方程，取得A和B點坐標，利用點到直線的距離公式，根據基本不等式的性質，當P（a-2，2$\sqrt{a-1}$）時，滿足題意的圓M的面積最小，求得A和B點坐標，利用三角形的面積公式即可求得△ABF與△PAM面積的比．

解答 解（1）由題意得丨PH丨=丨PF丨，
∴點P到直線：x=-1的距離等于它到定點F（1，0）的距離，…（2分）
∴點P的軌跡是以l為準線，F(xiàn)為焦點的拋物線，
設拋物線方程y²=2px，則$\frac{p}{2}$=1，則p=2，
∴點P的軌跡C的方程為y²=4x； …（4分）
（2）由y²=4x，當y＞0時，$y=2\sqrt{x}$，∴$y'=\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，
∴以P為切點的切線l₁的斜率為$k=\frac{1}{{\sqrt{x_0}}}$，
∴以P（x₀，y₀）（y₀＞0）為切點的切線為$y-{y_0}=\frac{1}{{\sqrt{x_0}}}（{x-{x_0}}）$
即$y-{y_0}=\frac{1}{y_0}（{x-\frac{y_0^2}{4}}）$，整理得${l_1}：4x-2{y_0}y+y_0^2=0$…（6分）
令x=0，則y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，則B（0，$\frac{{y}_{0}}{2}$），令y=0，則x=-$\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$=-x₀，
A（-x₀，0），…（7分）
點M（a，0）到切線l的距離d=$\frac{{y}_{0}^{2}+4a}{2\sqrt{{y}_{0}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{{y}_{0}^{2}+4}}{2}$+$\frac{2a-2}{\sqrt{{y}_{0}^{2}+4}}$≥2$\sqrt{a-1}$，
（當且僅當y₀=2$\sqrt{a-1}$時，取等號）．
∴當P（a-2，2$\sqrt{a-1}$）時，滿足題意的圓M的面積最�。� …（9分）
∴A（2-a，0），B（0，$\sqrt{a-2}$），
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$丨1-（2-a）丨•丨$\sqrt{a-2}$丨=$\frac{1}{2}$（a-1）$\sqrt{a-2}$，
S_△PAM=$\frac{1}{2}$丨a-（2-a）丨•丨2$\sqrt{a-2}$丨=2（a-1）$\sqrt{a-2}$，…（11分）
∴$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△PAM}}$=$\frac{1}{4}$，
△ABF與△PAM面積的比$\frac{1}{4}$．…（12分）

點評 本題考查拋物線的定義及標準方程，直線與拋物線的位置關系，考查曲線切線方程的求法，點到直線的距離公式，基本不等式的性質，考查計算能力，屬于中檔題．