Question

19．在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，F(xiàn)是DD₁的中點，
（I）求證：CF∥平面A₁DE；
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析 先分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（0，0，1），再寫出向量$\overrightarrow{D{A}_{1}}$，$\overrightarrow{DE}$，的坐標，求出平面A₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$．
（1）利用向量坐標之間的關(guān)系證得$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{n}=0$，從而得出CF∥平面A₁DE．（2）利用法向量，利用向量的夾角公式求二面角A₁-DE-A的余弦值．

解答 解：分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角
坐標系，則A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（0，0，1），則$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（1，2，0）．
設(shè)平面A₁DE的法向量是$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2a+2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=a+2b=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（-2，1，2）．
（1）由$\overrightarrow{CF}$=（0，-2，1），得$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{n}=0$，從而得出CF∥平面A₁DE．
（2）面DEA的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$．
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{1×3}=\frac{2}{3}$．
∴面角A₁-DE-A的余弦值為$\frac{2}{3}$．

點評 本小題主要考查直線與平面平行的判，向量法求二面角，考查運算求解能力，考查空間想象能力．屬于中檔題．