Question

8．已知函數(shù)$f（x）=kx（x∈[\frac{1}{e}，e]）$，$g（x）={（\frac{1}{e}）^{\frac{x}{2}}}$，若f（x），g（x）圖象上分別存在點(diǎn)M，N，使得M，N關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． $[-\frac{1}{e}，e]$
• B． $[-\frac{2}{e}，2e]$
• C． $[-\frac{3}{e}，3e]$
• D． $（-\frac{2}{e}，2e）$

Answer 1

分析 根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，f（x），g（x）圖象上分別存在點(diǎn)M，N，使得M，N關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．可得$\frac{1}{e}≤（\frac{1}{e}）^{\frac{x}{2}}≤e$，可得函數(shù)f（x）的范圍．在根據(jù)定義域求解k即可．

解答 解：由題意，函數(shù)$f（x）=kx（x∈[\frac{1}{e}，e]）$，$g（x）={（\frac{1}{e}）^{\frac{x}{2}}}$，若f（x），g（x）圖象上分別存在點(diǎn)M，N，使得M，N關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)
可得：$\frac{1}{e}≤（\frac{1}{e}）^{\frac{x}{2}}≤e$，
解得：-2≤x≤2．
根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，可得-2≤f（x）≤2，即-2≤kx≤2，
∵0＜$\frac{1}{e}≤$x≤e，
∴$\frac{-2}{x}$≤k≤$\frac{2}{x}$，
解得：$-\frac{2}{e}≤k≤2e$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．