Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=-13，a₆+a₈=-2，且a_n-1=2a_n-a_n+1（n≥2），則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前13項(xiàng)和為（　�。�

• A． $\frac{1}{13}$
• B． -$\frac{1}{13}$
• C． $\frac{1}{11}$
• D． -$\frac{1}{11}$

Answer 1

分析 由條件可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解方程可得d，求得通項(xiàng)公式，以及$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-15）（2n-13）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-15}$-$\frac{1}{2n-13}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求和．

解答 解：a_n-1=2a_n-a_n+1（n≥2），
可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，
可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
由a₁=-13，a₆+a₈=-2，即為2a₁+12d=-2，
解得d=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=2n-15．
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-15）（2n-13）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-15}$-$\frac{1}{2n-13}$），
即有數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前13項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{-13}$-$\frac{1}{-11}$+$\frac{1}{-11}$-$\frac{1}{-9}$+…+$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{13}$）
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{13}$）=-$\frac{1}{13}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的遞推式和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．