Question

13．數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_1}$，且a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_1}$，再寫一式，兩式相減，可得a_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，即a_n=3a_n-1．由a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列，得2（a₂+6）=a₁+a₃，解得a₁=3，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，確定通項，利用裂項法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_1}$，再寫一式，兩式相減，可得a_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，即a_n=3a_n-1．
由a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列，得2（a₂+6）=a₁+a₃，解得a₁=3．
故數(shù)列{a_n}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以a_n=3ⁿ．
（Ⅱ）a_n+1=3ⁿ⁺¹，S_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}$，則S_n+1=$\frac{3（{3}^{n+1}-1）}{2}$．
b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$），
所以數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{2}{3}$[（$\frac{1}{3-1}$-$\frac{1}{{3}^{2}-1}$）+（$\frac{1}{{3}^{2}-1}$-$\frac{1}{{3}^{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$）]=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$）．

點評 本題考查的知識要點：利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法求數(shù)列的和．