Question

10．已知點O為△ABC所在平面內一點，${\overrightarrow{OA}^2}={\overrightarrow{OB}^2}={\overrightarrow{OC}^2}$，若$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，且$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{AO}}|$，則$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由題意可得O為△ABC的外心，也是BC的中點，∠A=$\frac{π}{2}$，設AC=1，則BC=2，由此求得∠B的值，可得$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角的值．

解答 解：∵點O為△ABC所在平面內一點，${\overrightarrow{OA}^2}={\overrightarrow{OB}^2}={\overrightarrow{OC}^2}$，
∴O為△ABC的外心，
若$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，則O也是BC的中點，
∴△ABC為直角三角形，∠A=$\frac{π}{2}$，
∵$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{AO}}|$，設AC=1，則BC=2，∴AB=$\sqrt{{BC}^{2}{-AC}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為π-∠B=π-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
故選：D．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，求兩個向量的夾角，屬于基礎題．