Question

10．已知袋中裝有大小相同的8個(gè)小球，其中5個(gè)紅球的編號為1，2，3，4，5，3個(gè)藍(lán)球的編號為1，2，3，現(xiàn)從袋中任意取出3個(gè)小球．
（1）求取出的3個(gè)小球中，有小球編號為3的概率；
（2）記X為取出的3個(gè)小球中編號的最大值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由取出3球的方法有${C}_{8}^{3}$種，取出的3個(gè)小球中有小球編號為3的情況不便求解，可以先求取出的3個(gè)小球中沒有編號為3的情況，進(jìn)而得出結(jié)果．
（2）X的取值為2，3，4，5．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)事件A為取出的小球有編號為3，取出的三個(gè)小球的取法為：${C}_{8}^{3}$=56種，
先求取出3個(gè)小球中沒有編號為3的事件有：${C}_{6}^{3}$種，
∴P（A）=1-$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{14}$，
（2）X的取值為2，3，4，5；
P（X=2）=$\frac{4}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{14}$；
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}•{C}_{4}^{2}+{C}_{2}^{2}•{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{2}{7}$；
P（X=4）=$\frac{{C}_{1}^{1}•{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$；
P（X=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}•{C}_{7}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{3}{8}$，
X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{3}{8}$

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=2×$\frac{1}{14}$+3×$\frac{2}{7}$+4×$\frac{15}{56}$+5×$\frac{3}{8}$=$\frac{221}{56}$．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合和概率知識的靈活運(yùn)用．