Question

5．如圖，在三角形ABC中，已知AB=$\sqrt{2}$，AC=2，∠BAC=45°，E，F(xiàn)分別為BC，BA中點(diǎn)，AE，CF相交于G，則$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{CG}$的值為$-\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 首先由已知AB=$\sqrt{2}$，AC=2，∠BAC=45°，求出BC，得到B為直角，利用中線性質(zhì)以及數(shù)量積公式得到所求．

解答 解：因?yàn)锳B=$\sqrt{2}$，AC=2，∠BAC=45°，
所以BC²=AB²+AC²-2AB×ACcos45°=2，所以BC=$\sqrt{2}$，所以B=90°，
E，F(xiàn)分別為BC，BA中點(diǎn)，AE，CF相交于G，
則$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{CG}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）（$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$）
=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CA}$）=$\frac{1}{9}$（0-2-2-4）=-$\frac{8}{9}$；
故答案為：$-\frac{8}{9}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理的運(yùn)用、三角形中線的性質(zhì)以及平面向量數(shù)量積公式的運(yùn)用；熟練運(yùn)用數(shù)量積公式是關(guān)鍵．