Question

8．已知{a_n}是等比數(shù)列，a₁=3，a₄=24，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₄=-8，且{a_n+b_n}是等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{a_n+b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用分組求和的方法求解數(shù)列的和，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解數(shù)列的和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意得a₄=a₁q³，
∴q³=8，
解得q=2，
∴a_n=3×2^n-1，
設(shè)等差數(shù)列{a_n+b_n} 的公差為d，由題意得：a₄+b₄=（a₁+b₁ ）+3d，
∴24-8=（1+3）+3d，
解得d=4，
∴a_n+b_n=4+4（n-1）=4n，
∴b_n=4n-3×2^n-1；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{3（1-{2}^{n}）}{1-2}$=-3+3×2ⁿ，
數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$n（4n+4）=n（2n+2）=2n²+2n，
故{b_n}的前n項(xiàng)和為2n²+2n+3-3×2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用分組求和的方法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．