Question

18．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面ABB₁A₁為正方形，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C
（1）求證：平面ABB₁A₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）若AB=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥BB₁．AB⊥B₁C，推出AB⊥平面BB₁C₁C，然后證明平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C．
（2）設(shè)O是BB₁的中點(diǎn)，連結(jié)CO，則CO⊥BB₁．求出CO，連結(jié)AB₁，利用${V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{C-AB{B}_{1}}$求解三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高即可．

解答 （1）證明：由側(cè)面ABB₁A₁為正方形，知AB⊥BB₁．
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，所以AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB?平面ABB₁A₁，所以平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C．
…（5分）
解：（2）設(shè)O是BB₁的中點(diǎn)，連結(jié)CO，則CO⊥BB₁．
由（1）知，CO⊥平面ABB₁A₁，且CO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$…（7分）
連結(jié)AB₁，則${V}_{C-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△AB{B}_{1}}$•CO=$\frac{1}{6}$AB²•CO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…（9分）
因${V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{C-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×h$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則h=$\sqrt{3}$．
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高$\sqrt{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體的距離的求法，等體積法的應(yīng)用，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．