Question

20．如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE；
（III）若PB與底面所成的角為60°，AB=2a，求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OE，由題意可得OE∥AP，再由線面平行的判定可得PA∥平面BDE；
（Ⅱ）由PO⊥底面ABCD，得PO⊥BD，由已知可得AC⊥BD，再由線面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，進一步得到平面PAC⊥平面BDE；
（Ⅲ）由題意可得∠PBO=60°，求解三角形可得E到面BCD的距離=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$a，然后代入棱錐體積公式可得三棱錐E-BCD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連接OE，
由已知知O是AC的中點，又E是PC的中點，
∴OE∥AP，
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE．
∴PA∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC，
而BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE；
（Ⅲ）解：∵PB與底面所成的角為60⁰，且PO⊥底面ABCD，∴∠PBO=60°，
∵AB=2a，∴BO=$\sqrt{2}$a   PO=$\sqrt{6}$a，
∴E到面BCD的距離=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$a，
∴三棱錐E-BCD的體積V=$\frac{1}{3}×2{a^2}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}a=\frac{{\sqrt{6}}}{3}{a^3}$．

點評 本題考查直線與平面、平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了棱錐體積的求法，是中檔題．