Question

9．如圖，△ABC的外接圓為⊙O，延長CB至Q，再延長QA至P，使得QC²-QA²=BA•QC．
（1）求證：QA為⊙O的切線；
（2）若AC恰好為∠BAP的平分線，AB=6，AC=12，求QA的長度．

Answer 1

分析 （1）由已知可得QC•QB=QA²，即$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，可得△QCA∽△QAB，進而∠QAB=QCA，根據(jù)弦切角定理的逆定理可得QA為⊙O的切線；
（2）根據(jù)弦切角定理可得AC=BC=12，結(jié)合（1）中結(jié)論，可得QC：QA=AC：AB=12：6，進而得到答案．

解答 證明：（1）∵QC²-QA²=BC•QC，
∴QC（QC-BC）=QA²，即QC•QB=QA²，
于是$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，
∴△QCA～△QAB，
∴∠QAB=∠QCA，
根據(jù)弦切角定理的逆定理可得QA為⊙O的切線…（5分）
解：（2）∵QA為⊙O的切線，
∴∠PAC=∠ABC，而AC恰好為∠BAP的平分線，
∴∠BAC=∠ABC，于是AC=BC=12，
∴QC²-QA²=12QC，①
又由△QCA～△QAB得QC：QA=AC：AB=12：6，②
聯(lián)合①②消掉QC，得QA=8…（10分）

點評 本題考查的知識點是弦切角定理及其逆定理，圓的切線的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，難度中檔．