Question

19．如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割線，已知AC=AB．求證：
（1）AD•AE=AC²；
（2）若FG⊥EC，則$\frac{CF}{CG}$-$\frac{CG}{CF}$=$\frac{DE}{AC}$．

Answer 1

分析 （1）利用切線長與割線長的關(guān)系及AB=AC 進(jìn)行證明．
（2）證明△CAE∽△DAC∽△GCF，得比例式，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AB是⊙O的一條切線，切點為B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割線，
∴AB²=AD•AE，
∵AB=AC，∴AD•AE=AC²．
（2）由（1）有$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，
∵FG⊥EC，D，E，G，F(xiàn)四點共圓
∴∠ECA=∠CDA=∠CGF=90°，
∵∠CFG=∠CEA
∴△CAE∽△DAC∽△GCF，
∴$\frac{CG}{CF}=\frac{AD}{AC}$，$\frac{CF}{CG}$=$\frac{AE}{AC}$
∴$\frac{CF}{CG}$-$\frac{CG}{CF}$=$\frac{AE}{AC}$-$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{AC}$．

點評 本題考查圓的切線、考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．