Question

14．某校在規(guī)劃課程設(shè)置方案的調(diào)研中，隨機(jī)抽取50名文科學(xué)生，調(diào)查對(duì)選做題傾向得下表：

	傾向“平面幾何選講”	傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”	傾向“不等式選講”	合計(jì)
男生	16	4	6	26
女生	4	8	12	24
合計(jì)	20	12	18	50

（Ⅰ）從表中三種選題傾向中，選擇可直觀判斷“選題傾向與性別有關(guān)系”的兩種，作為選題傾向變量的取值，分析有多大的把握認(rèn)為“所選兩種選題傾向與性別有關(guān)系”．（只需要做出其中的一種情況）
（Ⅱ）按照分層抽樣的方法，從傾向“平面幾何選講”與傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的學(xué)生中抽取8人進(jìn)行問卷．
（�。┓謩e求出抽取的8人中傾向“平面幾何選講”與傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的人數(shù)；
（ⅱ）若從這8人中任選3人，記傾向“平面幾何選講”與傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的人數(shù)的差為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)獨(dú)立性 檢驗(yàn)的性質(zhì)分別進(jìn)行比較即可．
（Ⅱ）（�。└鶕�(jù)分層抽樣的定義進(jìn)行求解人數(shù)．
（ⅱ）求出對(duì)應(yīng)人數(shù)定義的概率，即可求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（Ⅰ）可直觀判斷：傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”或傾向“不等式選講”，與性別無關(guān)；傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”或傾向“平面幾何選講”，與性別有關(guān)；傾向“平面幾何選講”或傾向“不等式選講”，與性別有關(guān)．（正確選擇一組變量并指出與性別有關(guān)即給1分） 
選擇一：選擇傾向“平面幾何選講”和傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”作為選題傾向變量Y的值．作出如下2×2列聯(lián)表：

	平面幾何選講	坐標(biāo)系與參數(shù)方程	合計(jì)
男生	16	4	20
女生	4	8	12
合計(jì)	20	12	32

由上表，可直觀判斷：
因?yàn)?nbsp;$k=\frac{{32×{{（16×8-4×4）}^2}}}{20×12×20×12}≈6.969＞6.635$，
所以可以有99%以上的把握，認(rèn)為“‘坐標(biāo)系與參數(shù)方程’和‘平面幾何選講’這兩種選題傾向與性別有關(guān)”．
選擇二：選擇傾向“平面幾何選講”和傾向“不等式選講”作為分類變量Y的值．作出如下2×2列聯(lián)表：

	平面幾何選講	不等式選講	合計(jì)
男生	16	6	22
女生	4	12	16
合計(jì)	20	18	38

…（2分）
因?yàn)?k=\frac{{38×{{（16×12-6×4）}^2}}}{20×18×22×16}≈10.88＞10.828$，
所以可以有99.9%以上的把握，認(rèn)為“‘不等式選講’和‘平面幾何選講’這兩種選題傾向與性別有關(guān)”．
（Ⅱ）（�。﹥A向“平面幾何選講”與傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的人數(shù)比例為20：12=5：3，
所以抽取的8人中傾向“平面幾何選講”的人數(shù)為5，傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的人數(shù)為3．
（ⅱ）依題意，得ξ=-3，-1，1，3，…（8分）$P（ξ=-3）=\frac{C_3^3}{C_8^3}=\frac{1}{56}$，$P（ξ=-1）=\frac{C_5^1C_3^2}{C_8^3}=\frac{15}{56}$，$P（ξ=1）=\frac{C_5^2C_3^1}{C_8^3}=\frac{30}{56}$，$P（ξ=3）=\frac{C_5^3C_3^0}{C_8^3}=\frac{10}{56}$．…（10分）
故ξ的分布列如下：

ξ	-3	-1	1	3
P	$\frac{1}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{30}{56}$	$\frac{10}{56}$

所以$Eξ=-3×\frac{1}{56}+（-1）×\frac{15}{56}+1×\frac{30}{56}+3×\frac{10}{56}=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，分層抽樣，以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．