Question

2．已知矩陣$A=[{\begin{array}{l}2&a\\ 2&1\end{array}}]（{a∈R}）$的一個(gè)特征值為-1，求矩陣A的另一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量．

Answer 1

分析 寫出矩陣的特征多項(xiàng)式，利用特征值求出a，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一個(gè)特征值為λ=4．最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．

解答 解：矩陣的特征多項(xiàng)式是f（λ）=（λ-2）（λ-1）-2a，
由f（-1）=0得a=3，即f（λ）=λ²-3λ-4，
令f（λ）=0，則λ=-1或λ=4，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{（λ-2）x-3y=0}\\{-2λ+（λ+1）y=0}\end{array}\right.$，可得2x-3y=0，
所以矩陣A的另一個(gè)特征值是4，屬于4的一個(gè)特征向量是$[\begin{array}{l}{3}\\{2}\end{array}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有字母參數(shù)的矩陣，在知其一個(gè)特征值的情況下求另一個(gè)特征值和相應(yīng)的特征向量，考查了特征值與特征向量的計(jì)算的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．