Question

11．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-ax（a為常數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁，x₂，若不等式f（x₁）+f（x₂）＜λ（x₁+x₂）恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{x}$且f′（x）=0有兩個(gè)不同的正根，即x²-ax+a=0兩個(gè)不同的正根，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）利用韋達(dá)定理，可得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=lna-$\frac{1}{2}$a-1，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出其范圍，即可求λ的最小值．

解答 解：（1）由題設(shè)知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{x}$且f′（x）=0有兩個(gè)不同的正根，即x²-ax+a=0兩個(gè)不同的正根x₁，x₂，（x₁＜x₂）
則$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4a＞0}\\{a＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，∴a＞4，
（0，x₁），f′（x）＞0，（x₁，x₂），f′（x）＜0，（x₂，+∞），f′（x）＞0，
∴x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，符合題意，
∴a＞4；
（2）f（x₁）+f（x₂）=alnx₁+$\frac{1}{2}$x₁²-ax₁+alnx₂+$\frac{1}{2}$x₂²-ax₂=a（lna-$\frac{1}{2}$a-1），
∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=lna-$\frac{1}{2}$a-1，
令y=lna-$\frac{1}{2}$a-1，則y′=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$，
∵a＞4，
∴y′＜0，
∴y=lna-$\frac{1}{2}$a-1在（4，+∞）上單調(diào)遞減，
∴y＜ln4-3，
∵不等式f（x₁）+f（x₂）＜λ（x₁+x₂）恒成立，x₁+x₂＞0，
∴是λ的最小值ln4-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查不等式恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．