Question

某制藥廠準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行宣傳，在一年內(nèi)，預(yù)計(jì)年銷量Q（萬(wàn)件）與廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系為Q=

3x+1

x+1

（x≥0）．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件此產(chǎn)品仍需后期再投入32萬(wàn)元，若每件售價(jià)為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”與“后期再投入”）．
（1）試將年利潤(rùn)W萬(wàn)元表示為年廣告費(fèi)x萬(wàn)元的函數(shù)，并判斷當(dāng)年廣告費(fèi)投入100萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)虧損還是盈利？
（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由由題意，每件售價(jià)為

3+32Q

Q

×150%+

x

Q

×50%=

9+96Q+x

2Q

元，從而寫出w=

-x2+98x+35

2(x+1)

，代入求x=100時(shí)的正負(fù)即可；
（2）化簡(jiǎn)w=

-x2+98x+35

2(x+1)

=-

1

2

（（x+1）+

64

x+1

）+50，利用基本不等式求解．

解答： 解：（1）由題意，
每件售價(jià)為

3+32Q

Q

×150%+

x

Q

×50%=

9+96Q+x

2Q

，
則w=

9+96Q+x

2Q

•Q-x-3-32Q=

9+96Q+x-2x-6-64Q

2

=

-x2+98x+35

2(x+1)

，
則當(dāng)x=100時(shí)，
w=

-10000+9800+35

2×101

＜0，
故企業(yè)虧損．
（2）w=

-x2+98x+35

2(x+1)

=-

1

2

（（x+1）+

64

x+1

）+50
≤50-8=42（當(dāng)且僅當(dāng)x=7時(shí)，等號(hào)成立）．
故當(dāng)年廣告費(fèi)投入7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題的能力，同時(shí)考查了學(xué)生化簡(jiǎn)能力及基本不等式求最值問題，屬于中檔題．