Question

15．我們把圓心在一條直線(xiàn)上，且相鄰兩圓彼此外切的一組圓叫做“串圓”，在如圖所示的“串圓”中，圓C₁和圓C₃的方程分別為：x²+y²=1和（x-4）²+（y-2）²=1，若直線(xiàn)ax+2by-2=0（a，b＞0）始終平分圓C₂的周長(zhǎng)，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 5
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出直線(xiàn)方程，得到a、b關(guān)系式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：圓C₁和圓C₃的方程分別為：x²+y²=1和（x-4）²+（y-2）²=1，
若直線(xiàn)ax+2by-2=0（a，b＞0）始終平分圓C₂的周長(zhǎng)，
說(shuō)明直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓C₂的圓心，圓C₃的圓心（4，2），圓C₂的圓心（2，1），
可得：a+b=1，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）（a+b）
=3+$\frac{a}+\frac{2a}$≥3+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2a}}$=3+2$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)b=$\sqrt{2}a$并且a+b=1時(shí)取得最小值．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．