Question

10．若實數(shù)x、y滿足xy＞0，則$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$的最大值為-2．

Answer 1

分析 令t=$\frac{y}{x}$＞0，得到$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$=1-$\frac{1}{3+（2t+\frac{1}{t}）}$，根據基本不等式的性質求出2t+$\frac{1}{t}$的最小值，從而求出代數(shù)式的最大值即可．

解答 解：令t=$\frac{y}{x}$＞0，
則$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$
=$\frac{1}{1+t}$+$\frac{2t}{1+2t}$
=$\frac{1}{1+t}$+1-$\frac{1}{1+2t}$
=1+$\frac{t}{（1+t）（1+2t）}$
=1+$\frac{1}{3+（2t+\frac{1}{t}）}$，
由t＞0得2t+$\frac{1}{t}$≥2$\sqrt{2t•\frac{1}{t}}$=2$\sqrt{2}$，
故原不等式≤1+$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$=4-2$\sqrt{2}$，
故t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即y═$\frac{\sqrt{2}}{2}$x時，
所求的最大值是4-2$\sqrt{2}$，
故答案為：4-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質，換元思想以及轉化思想，是一道中檔題．