10.若實數(shù)x、y滿足xy>0,則$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$的最大值為-2.

分析 令t=$\frac{y}{x}$>0,得到$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$=1-$\frac{1}{3+(2t+\frac{1}{t})}$,根據基本不等式的性質求出2t+$\frac{1}{t}$的最小值,從而求出代數(shù)式的最大值即可.

解答 解:令t=$\frac{y}{x}$>0,
則$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$
=$\frac{1}{1+t}$+$\frac{2t}{1+2t}$
=$\frac{1}{1+t}$+1-$\frac{1}{1+2t}$
=1+$\frac{t}{(1+t)(1+2t)}$
=1+$\frac{1}{3+(2t+\frac{1}{t})}$,
由t>0得2t+$\frac{1}{t}$≥2$\sqrt{2t•\frac{1}{t}}$=2$\sqrt{2}$,
故原不等式≤1+$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$=4-2$\sqrt{2}$,
故t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即y═$\frac{\sqrt{2}}{2}$x時,
所求的最大值是4-2$\sqrt{2}$,
故答案為:4-2$\sqrt{2}$.

點評 本題考查了基本不等式的性質,換元思想以及轉化思想,是一道中檔題.

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