Question

15．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，以相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ=2，曲線C的方程為y²=2px（p＞0）．
（Ⅰ）設(shè)t為l參數(shù)，若$x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t$，求直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）直線與曲線C交于P，Q，設(shè)M（-2，-4），且|PQ|²=|MP|•|MQ|，求實(shí)數(shù)p的值．

Answer 1

分析 （I）直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ=2，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：x-y-2=0．設(shè)t為l參數(shù)，若$x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t$，可得直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，-4），斜率為1．可得直線l的參數(shù)方程．
（II）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入曲線C的方程可得：t²-（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$p）t+32+8p=0．設(shè)MP=t₁，MQ=t₂．|PQ|²=$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}$=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$-4t₁t₂，|MP|•|MQ|=t₁•t₂．根據(jù)|PQ|²=|MP|•|MQ|，近期根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（I）直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ=2，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：x-y-2=0．
設(shè)t為l參數(shù)，若$x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t$，可得直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，-4），斜率為1．
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$．
（II）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入曲線C的方程y²=2px（p＞0）．
可得：t²-（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$p）t+32+8p=0．
設(shè)MP=t₁，MQ=t₂．
則t₁+t₂=8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$p，t₁•t₂=32+8p．
|PQ|²=$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}$=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$-4t₁t₂，|MP|•|MQ|=t₁•t₂．
∵|PQ|²=|MP|•|MQ|，
∴$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$-4t₁t₂=t₁•t₂．
即$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$=5t₁t₂．
∴$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）^{2}$=5（32+8p），
化為：4+p=5，解得p=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線參數(shù)方程及其應(yīng)用、直線與曲線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．