Question

4．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，Q為BB₁的中點(diǎn)，過(guò)A₁，Q，D三點(diǎn)的平面記為α．
（Ⅰ）證明：平面α與平面A₁B₁C₁D₁的交線平行于直線CD；
（Ⅱ）若AA₁=3，BC=CD=$\sqrt{3}$，∠BCD=120°，求平面α與底面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)P，由已知可得AD∥BC，且AD=2BC，則AB=BP，得到A₁，Q，P三點(diǎn)共線，此時(shí)平面α與平面ABCD的交線為CD，再由面面平行的性質(zhì)可得平面α與平面A₁B₁C₁D₁的交線平行于直線CD；
（Ⅱ）在梯形ABCD中，由已知求得ABCD是等腰梯形，進(jìn)一步得到△ADP為等邊三角形，連接AC、A₁C，則AC⊥CD，可得∠A₁CA就是平面α與底面ABCD所成二面角的平面角，在直角△A₁CA中，求得$∠{A_1}CA=\frac{π}{4}$，即平面α與底面ABCD所成二面角的大小為$\frac{π}{4}$．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)P，
∵AD∥BC，且AD=2BC，∴AB=BP，
又∵Q為BB₁ 的中點(diǎn)，
∴A₁，Q，P三點(diǎn)共線，此時(shí)平面α與平面ABCD的交線為CD，
又平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，
平面α與平面A₁B₁C₁D₁的交線平行于直線CD；
（Ⅱ）解：在梯形ABCD中，∵BC=CD=$\sqrt{3}$，∠BCD=120°，
∴BD=3，$AD=2\sqrt{3}$，$∠ADB=\frac{π}{6}$，得$AB=\sqrt{3}$，$∠DAB=\frac{π}{3}$，
說(shuō)明梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD=3，
可知△ADP為等邊三角形，連接AC、A₁C，則AC⊥CD，
又AA₁⊥CD，∴CD⊥平面AA₁C，
此時(shí)∠A₁CA就是平面α與底面ABCD所成二面角的平面角，
在直角△A₁CA中，AC=AA₁=3，∴$∠{A_1}CA=\frac{π}{4}$，
即平面α與底面ABCD所成二面角的大小為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系，空間想象能力，空間角的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．