Question

2．如圖，在△ABC中，已知點D，E分別在邊AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．
（Ⅰ）用向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{DE}$．
（Ⅱ）設(shè)AB=6，AC=4，A=60°，求線段DE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平面向量的線性表示與運算法則，用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{DE}$即可；
（Ⅱ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長公式，求出|$\overrightarrow{DE}$|即可．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，
且AB=3AD，BC=2BE；
∴$\overrightarrow{DB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$；
（Ⅱ）設(shè)AB=6，AC=4，A=60°，
則${\overrightarrow{DE}}^{2}$=$\frac{1}{36}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2×$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{1}{36}$×6²+$\frac{1}{6}$×6×4×cos60°+$\frac{1}{4}$×4²
=7，
∴|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{7}$，
即線段DE的長為$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了平面向量的線性運算以及數(shù)量積運算的應用問題，是基礎(chǔ)題目．