考點:數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)先利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義求得a
2n-1=2n-1,
a2n=2n,進而分n為奇數(shù)和偶數(shù)寫出a
n.利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式分別求得奇數(shù)項的和及偶數(shù)項的和,即得數(shù)列{a
n}的前n項和.
(2)b
n=
=
=
=2+
,由此進行列舉,能求出數(shù)列{b
n}的最大值.
解答:
解:(1)設等差數(shù)列{a
2n-1}(n∈N
+)的公差為d,等比數(shù)列{a
2n}(n∈N
+)的公比為q,
則2(1+d)=2+2q,4q=(1+d)+(1+2d),解得q=d=2.
于是a
2n-1=2n-1,a
2n=2
n,
即數(shù)列的通項
an=,
當n為偶數(shù)時,數(shù)列奇數(shù)項的和為
×=
,
偶數(shù)項的和為
=
2+1-2,
故S
n=
+2+1-2.
當n為奇數(shù)時,S
n=S
n-1+a
n=
+2-2+n=
2+.
∴S
n=
| 2+,n為奇數(shù) | +2+1-2,n為偶數(shù) |
| |
.
(2)∵b
n=
=
=
=2+
,
∴n=1時,b
1=2+
=
,
n=2時,b
2=2+
=
,
n=3時,b
3=2+
=
,
n=4時,b
4=2+
=
,
n=5時,b
5=2+
=
,
n=6時,b
6=2+
=
,
…
∴n=3或n=4時,數(shù)列{b
n}取最大值
b3=b4=.
點評:本題考查數(shù)列的前n項和公式的求法,考查數(shù)列的最大值的求法,綜合性強,難度大,解題時要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用,注意分類討論思想的合理運用.