Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-$\frac{3}{x}$+a-2有且僅有三個零點，且它們成等差數(shù)列，則實數(shù)a的取值集合為{$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$，-$\frac{9}{5}$ }．

Answer 1

分析 令g（x）=0，化簡函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{3}{x}，x≤a}\\{x-\frac{3}{x}，x＞a}\end{array}\right.$，從而不妨設(shè)f（x）=0的3個根為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，討論當x＞a時，求得兩根，x≤a時，再分①a≤-1，②-1＜a≤3，③a＞3，運用等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，進而確定a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=|x-a|-$\frac{3}{x}$+a-2有且僅有三個零點，設(shè)f（x）=0，可得|x-a|-$\frac{3}{x}$+a=2，
設(shè)g（x）=|x-a|-$\frac{3}{x}$+a，h（x）=2，則函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{3}{x}，x≤a}\\{x-\frac{3}{x}，x＞a}\end{array}\right.$．
不妨設(shè)f（x）=0的3個根為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
當x＞a時，由f（x）=0，解得x=-1，或x=3；
若 ①a≤-1，此時 x₂=-1，x₃=3，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得x₁=-5，
由f（-5）=2a+5+$\frac{3}{5}$-2=0，解得a=-$\frac{9}{5}$，滿足f（x）=0在（-∞，a]上有一解．
若②-1＜a≤3，則f（x）=0在（-∞，a]上有兩個不同的解，不妨設(shè)x₁，x₂，其中x₃=3，
所以有x₁，x₂是2a-x-$\frac{3}{x}$=2的兩個解，即x₁，x₂是x²-（2a-2）x+3=0的兩個解．
得到x₁+x₂=2a-2，x₁x₂=3，
又由設(shè)f（x）=0的3個根為x₁，x₂，x₃成差數(shù)列，且x₁＜x₂＜x₃，得到2x₂=x₁+3，
解得：a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或$\frac{5-3\sqrt{33}}{8}$（舍去）．
③a＞3，f（x）=0最多只有兩個解，不滿足題意；
綜上所述，a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或-$\frac{9}{5}$，
故答案為：{$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$，-$\frac{9}{5}$ }．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，屬于中檔題．