Question

5．設(shè)常數(shù)a＞0，λ∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a）-λ（x+a）³，若函數(shù)f（x）恰有兩個零點，求λ的值．

Answer 1

分析 當λ=1時，f（x）=x²（x-a）-（x+a）³=-a（4x²+3ax+a²），利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷；當λ≠1時，則必有一個零點是極值點；設(shè)該零點為x₀，從而f（x₀）=f′（x₀）=0，從而解得x₀，再代入f（x₀）=0即可求出λ．

解答 解：（1）當λ=1時，f（x）=x²（x-a）-（x+a）³
=-a（4x²+3ax+a²）；
∵-a＜0，△=（3a）²-16a²=-7a²＜0，
∴f（x）＜0恒成立；故f（x）沒有零點；
（2）當λ≠1時，∵函數(shù)f（x）恰有兩個零點；
則必有一個零點為f（x）的極值點；
不妨設(shè)該零點為x₀，
則f（x₀）=x₀²（x₀-a）-λ（x₀+a）³=0，
即x₀²（x₀-a）=λ（x₀+a）³，①
又f′（x）=3x²-2ax-3λ（x+a）²
故f′（x₀）=3x₀²-2ax₀-3λ（x₀+a）²=0，②
由①②化簡可得：x₀=0或x₀=$\frac{a}{2}$；
經(jīng)檢驗，當x₀=0時成立，此時λ=0；
當x₀=$\frac{a}{2}$時也成立，此時λ=-$\frac{1}{27}$；
故λ=0或λ=-$\frac{1}{27}$．

點評 本題考查了函數(shù)零點的個數(shù)判斷，分類討論的思想，函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．