Question

1．已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，點G是△ABC的重心，若A=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=6，|$\overrightarrow{AG}$|=2，則△ABC一定是（　�。�

• A． 直角三角形
• B． 等腰直角三角形
• C． 正三角形
• D． 鈍角三角形

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用平面向量的線性表示與數(shù)量積運算，得出邊長b=c，即可得出△ABC是正三角形．

解答 解：如圖所示，
△ABC中，設(shè)D是BC的中點，且$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$；
由條件得$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bc•cos$\frac{π}{3}$=6，
∴bc=12；
又$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow$），且|$\overrightarrow{AG}$|=2，
∴${（\overrightarrow{c}+\overrightarrow）}^{2}$=36，
即c²+b²+2$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$=36，
∴c²+b²-24=0，
∴c²-2bc+b²=0，
即（b-c）²=0，
∴b=c，
∴△ABC是正三角形．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積運算問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題方法，是綜合性題目．