Question

9．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）已知產(chǎn)量x和能耗y呈線性關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$．
（2）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少?lài)崢?biāo)準(zhǔn)煤？
參考公式；$\left\{\begin{array}{l}{\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}}\\{\widehat{a}=\widehat{y}-\widehat\overline{x}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫(xiě)出線性回歸方程；
（2）利用線性回歸方程計(jì)算x=100時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值，再預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗
比技改前降低了多少．

解答 解：（1）根據(jù)題意，計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=3²+4²+5²+6²=86；
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4{×4.5}^{2}}$=0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35；
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.7x+0.35；
（2）利用線性回歸方程計(jì)算x=100時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=100×0.7+0.35=70.35（噸標(biāo)準(zhǔn)煤），
即預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低90-70.35=19.65（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．