Question

4．在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）；直線l₁的普通方程為x+1=0，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求圓C與直線l₁的極坐標方程；
（2）若直線l₂的極坐標方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），且直線l₂與圓C交于O、P兩點（O為坐標原點），直線l₂與直線l₁交于點Q，求|PQ|．

Answer 1

分析 （1）由圓的參數方程消去參數求出圓C的普通方程，由此能求出圓C極坐標方程；由直線l的直角坐標方程，能求出直線l的極坐標方程．
（2）直線l₂：θ=$\frac{π}{3}$的直角坐標方程為y=$\sqrt{3}$x，聯(lián)立方程組分別求出P和Q的坐標，由此利用兩點間距離公式能求出線段PQ的長．

解答 解：（1）∵圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
∴圓C的普通方程為（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=4，
∴圓C極坐標方程為ρ²-4ρ-4=0．
∵直線l的方程為x+1=0，
∴直線l的極坐標方程為ρcosθ+1=0．
（2）直線l₂：θ=$\frac{π}{3}$的直角坐標方程為y=$\sqrt{3}$x，
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}=4}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
即O（0，0），P（1，$\sqrt{3}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，得Q（-1，-$\sqrt{3}$），
∴線段PQ的長|PQ|=$\sqrt{4+12}$=4．

點評 本題考查圓和直線的極坐標方程的求法，考查線段長的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．