Question

18．規(guī)定A${\;}_{x}^{m}$=x•（x-1）…（x-m+1）（其中x∈R，m∈N*），且A${\;}_{x}^{0}$=1，這是排列數(shù)A${\;}_{n}^{m}$（n，m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣．
（1）求A${\;}_{1.5}^{4}$的值
（2）排列數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①A${\;}_{n}^{m}$=nA${\;}_{n-1}^{m-1}$，②A${\;}_{n}^{m}$+mA${\;}_{n}^{m-1}$=A${\;}_{n+1}^{m}$．是否能推廣到A${\;}_{x}^{m}$的情形？若能，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，說(shuō)明理由；
（3）求函數(shù)A${\;}_{x+1}^{3}$在區(qū)間[0，a]（a＞0，且a∈R）上的最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m為正整數(shù)，寫出A_1.5⁴的表示式，再做出結(jié)果，做法同一般的排列數(shù)相同．
（2）首先寫出推廣以后的性質(zhì)，A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊），針對(duì)于這兩個(gè)式子進(jìn)行證明，根據(jù)排列數(shù)的意義，寫出要證明的等式的左邊和右邊，整理后兩邊相等．
（3）要求函數(shù)A_x+1³的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)a進(jìn)行分類討論，即可求出最值．

解答 解：（1）A_1.5⁴=1.5×0.5×（-0.5）×（-1.5）=$\frac{9}{16}$；
（2）性質(zhì)①、②均可推廣，推廣的形式分別是：
①A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）
事實(shí)上，在①中，當(dāng)m=1時(shí)，左邊=A_x¹=x，右邊=xA_x-1⁰=x，等式成立；
當(dāng)m≥2時(shí)，左邊=x（x-1）（x-2）（x-m+1）=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xA_x-1^m-1，
因此，①A_x^m=xA_x-1^m-1成立；
在②中，當(dāng)m=1時(shí)，左邊=A_x¹+A_x⁰=x+1=A_x+1¹=右邊，等式成立；
當(dāng)m≥2時(shí)，
左邊=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=A_x+1^m=右邊，
因此②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）成立．
（3）A${\;}_{x+1}^{3}$=（x+1）x（x-1）=x³-x，
設(shè)f（x）=x³-x，x∈[0，a]，
∴f′（x）=3x²-1，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數(shù)f（x）在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即0≤x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數(shù)f（x）在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）單調(diào)遞減，
當(dāng)0≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（0）=0，f（x）_min=f（a）=a³-a
當(dāng)a＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，f（x）_max={f（0），f（a）}，
當(dāng)f（0）≥f（a）時(shí)，即a³-a≤0時(shí)，解得$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a≤1，
當(dāng)f（0）＜f（a）時(shí)，即a³-a＞0時(shí)，解得a＞1，
∴當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a≤1時(shí)，f（x）_max=f（0）=0，
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）_max=f（a）=a³-a

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列數(shù)公式，考查新定義問(wèn)題，考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，考查解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，是一個(gè)綜合題目．