Question

9．在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，$SA=\sqrt{3}，SB=2\sqrt{3}$，二面角S-AB-C的大小為120°，則此三棱錐的外接球的表面積為21π．

Answer 1

分析 由題意得SA²+AB²=SB²，得到SA⊥AB，取AB中點(diǎn)為D，SB中點(diǎn)為M，得到∠CDM為S-AB-C的二面角的平面角，得到∠MDC=120°，設(shè)三角形ABC 的外心為O'，則CO'=$\sqrt{3}$=BO'，DO'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，找出球心位置，進(jìn)一步計(jì)算半徑以及表面積．

解答 解：由題意得SA²+AB²=SB²，得到SA⊥AB，取AB中點(diǎn)為D，SB中點(diǎn)為M，得到∠CDM為S-AB-C的二面角的平面角，得到∠MDC=120°，設(shè)三角形ABC 的外心為O'，則CO'=$\sqrt{3}$=BO'，DO'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
球心為過(guò)M的ABS的垂線與過(guò)O'的ABC 的垂線的交點(diǎn)，
在四邊形MDOO'中，OO'=$\frac{3}{2}$，所以R²=OO'²+O'B²=$\frac{9}{4}+3=\frac{21}{4}$，所以球的表面積為4πR²=21π．
故答案為：21π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何體的外接球表面積的求法；關(guān)鍵是正確找出球心的位置，通過(guò)勾股定理計(jì)算半徑，求得表面積．