Question

16．某廠用甲、乙兩種原料生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，制造1t A，1t B產(chǎn)品需要的各種原料數(shù)、可得到利潤以及工廠現(xiàn)有各種原料數(shù)如下表：

原料	每種產(chǎn)品所需原料（t）		現(xiàn)有原 料數(shù)（t）
	A	B
甲	2	1	14
乙	1	3	18
利潤（萬元/t）	5	3	-

（1）在現(xiàn)有原料條件下，生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品各多少時(shí)，才能使利潤最大？
（2）每噸B產(chǎn)品的利潤在什么范圍變化時(shí)，原最優(yōu)解不變？當(dāng)超出這個(gè)范圍時(shí)，最優(yōu)解有何變化？

Answer 1

分析 （1）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品分別為xt，yt，其利潤總額為z萬元，
列出約束條件，作出可行域，求出最優(yōu)解，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的最大值；
（2）設(shè)B產(chǎn)品的利潤為a萬元（a＞0），寫出利潤函數(shù)z=5x+ay，
利用斜率值列出不等式-2≤$\frac{5}{-a}$≤-$\frac{1}{3}$，求出a的取值范圍，
根據(jù)圖形求超出這個(gè)范圍時(shí)最優(yōu)解的變化．

解答 解：（1）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品分別為xt，yt，其利潤總額為z萬元，
根據(jù)題意，可得約束條件為$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤14}\\{x+3y≤18}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$；
作出可行域如圖所示：
目標(biāo)函數(shù)為z=5x+3y，
作直線l₀：5x+3y=0，
再作一組平行于l₀的直線l：5x+3y=z，
當(dāng)直線l經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)z=5x+3y取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=14}\\{x+3y=18}\end{array}\right.$，
解得交點(diǎn)P（$\frac{24}{5}$，$\frac{22}{5}$），
所以生產(chǎn)A產(chǎn)品$\frac{24}{5}$t，B產(chǎn)品$\frac{22}{5}$t時(shí)，才能使利潤最大，
最大值為z_max=5×$\frac{24}{5}$+3×$\frac{22}{5}$=37.2（萬元）；
（2）設(shè)B產(chǎn)品的利潤為a萬元（a＞0），
則利潤函數(shù)為z=5x+ay，其斜率為-$\frac{5}{a}$；
且直線2x+y=14，斜率為-2；
直線x+3y=18，斜率為-$\frac{1}{3}$；
根據(jù)題意得，-2≤$\frac{5}{-a}$≤-$\frac{1}{3}$，
解得$\frac{5}{2}$≤a≤15；
所以每噸B產(chǎn)品的利潤在$\frac{5}{2}$～15/t范圍變化時(shí)，原最優(yōu)解不變；
當(dāng)超出這個(gè)范圍時(shí)，最優(yōu)解將變?yōu)椋?，0）或（0，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，是中檔題．