Question

4．若函數(shù)f（x）=$\frac{a+1}{2}{x^2}$-ax-lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求證：x-$\frac{lnx}{x}$≥1．

Answer 1

分析 （1）$f′（x）=\frac{（a+1）x-ax-1}{x}$=$\frac{（a+1）（x+\frac{1}{a+1}）（x-1）}{x}$
按照兩根$\frac{-1}{a+1}$與1的大小關(guān)系討論，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到單調(diào)性，從而求得極值；
（2）由（1）得當(dāng)a=1時，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；
即f（x）≥f（1）=0，即x²-x-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立．
可得x-$\frac{lnx}{x}$≥1成立

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{a+1}{2}{x^2}$-ax-lnx的定義域為：（0，+∞）．
①當(dāng)a=-1時，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$．令f'（x）=0，得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_極小值=f（1）=1，無極大值．
②當(dāng)a≠-1時，$f′（x）=\frac{（a+1）x-ax-1}{x}$=$\frac{（a+1）（x+\frac{1}{a+1}）（x-1）}{x}$
令f′（x）=0，得x₁=$\frac{-1}{a+1}$，x₂=1
當(dāng)a＞-1時，$\frac{-1}{a+1}$＜0，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜-1時，$\frac{-1}{a+1}$＞0，
  當(dāng)-2＜a＜-1時，$\frac{-1}{a+1}＞1$，f（x）在（0，1），（$\frac{-1}{a+1}$，+∞）上單調(diào)遞減，在（1，$\frac{-1}{a+1}$）上遞增，
∴f（x）_極小值=f（1）=$\frac{1-a}{2}$，f（x）_極大值=f（$\frac{-1}{a+1}$）=$\frac{1+2a}{2（a+1）}+ln（-a-1）$．
  當(dāng)a＜-2時，$\frac{-1}{a+1}＜1$，f（x）在（0，$\frac{-1}{a+1}$），（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（$\frac{-1}{a+1}$，1）上遞增；
∴f（x）_極大值=f（1）=$\frac{1-a}{2}$，f（x）_極小值=f（$\frac{-1}{a+1}$）=$\frac{1+2a}{2（a+1）}+ln（-a-1）$．
  當(dāng)a=-2時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，無極值．
（2）由（1）得當(dāng)a=1時，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；
∴f（x）≥f（1）=0，即x²-x-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴x-$\frac{lnx}{x}$≥1成立

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．