Question

14．如圖所示，MCN是某海灣旅游區(qū)的一角，為營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會決定建立面積為4$\sqrt{3}$平方千米的三角形主題游戲樂園ABC，并在區(qū)域CDE建立水上餐廳．已知∠ACB=120°，∠DCE=30°．
（Ⅰ）設(shè)AC=x，AB=y，用x表示y，并求y的最小值；
（Ⅱ）設(shè)∠ACD=θ（θ為銳角），當(dāng)AB最小時，用θ表示區(qū)域CDE的面積S，并求S的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC=x，AB=y，利用余弦定理求得BC的值，可得y的解析式，再利用基本不等式求得y的最小值．
（Ⅱ）△ACD中，由正弦定理求得CD的值，△ACE中，由正弦定理可得CE的值，根據(jù)區(qū)域CDE的面積S=$\frac{1}{2}$•CD•CE•sin30°，利用正弦函數(shù)的值域求得區(qū)域CDE的面積S的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵AC=x，AB=y，∠ACB=120°，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BC•sin120°=$\frac{1}{2}•x•BC•\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{16}{x}$．
△ABC中，利用余弦定理可得AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos120°，
即y²=x²+$\frac{256}{{x}^{2}}$+16≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{256}{{x}^{2}}}$+16=48，
∴y≥4$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)x²=16，即x=4時，取等號，
故當(dāng)x=4時，y取得最小值為4$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）設(shè)∠ACD=θ（θ為銳角），
當(dāng)AB最小時，x=AC=4=BC，AB=4$\sqrt{3}$，∠CAB=∠CBA=30°，
△ACD中，由正弦定理可得$\frac{CD}{sin∠CAB}$=$\frac{AC}{sin∠CDA}$，
∴CD=$\frac{AC•sin∠CAB}{sin∠CDA}$=$\frac{4sin30°}{sin（150°-θ）}$=$\frac{2}{sin（150°-θ）}$，
△ACE中，由正弦定理可得CE=$\frac{AC•sin∠CAE}{sin∠CEA}$=$\frac{4sin30°}{sin（120°-θ）}$=$\frac{2}{sin（120°-θ）}$，
根據(jù)區(qū)域CDE的面積S=$\frac{1}{2}$•CD•CE•sin30°=$\frac{1}{sin（150°-θ）•sin（120°-θ）}$=$\frac{4}{\sqrt{3}+2sin2θ}$，
故當(dāng)2θ=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{4}$時，區(qū)域CDE的面積S取得最小值為$\frac{4}{\sqrt{3}+2}$=8-4$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查余弦定理、正弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．