Question

5．在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，$\overrightarrow m=（sinx，cosx），\overrightarrow n=（cos（x-A），sin（x-A））$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n（x∈R）$在$x=\frac{5π}{12}$處取得最大值．
（1）當(dāng)$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若a=7且$sinB+sinC=\frac{{13\sqrt{3}}}{14}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算也三角恒等變換化簡函數(shù)f（x），再求f（x）的值域；
（2）由正弦定理和余弦定理，求△ABC的面積．

解答 解：（1）$\overrightarrow m=（sinx，cosx），\overrightarrow n=（cos（x-A），sin（x-A））$，
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sinxcos（x-A）+cosxsin（x-A）=sin（2x-A）；
又函數(shù)f（x）在$x=\frac{5π}{12}$處取得最大值，
∴$2×\frac{5π}{12}-A=\frac{π}{2}$，解得$A=\frac{π}{3}$；
∴$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{3}}）$；
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$（{2x-\frac{π}{3}}）∈（{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}）$，
則函數(shù)f（x）的值域為$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$；…（6分）
（2）由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{7}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{14}{{\sqrt{3}}}$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}b}}{14}，sinC=\frac{{\sqrt{3}c}}{14}$，
∴$sinB+sinC=\frac{{\sqrt{3}b}}{14}+\frac{{\sqrt{3}c}}{14}=\frac{{13\sqrt{3}}}{14}$，
∴b+c=13，
由余弦定理得b²+c²-2bccosA=a²，
∴（b+c）²-2bc（1+cosA）=a²，
又∵b+c=13，a=7，∴bc=40，
則三角形的面積為$S=\frac{1}{2}bcsinA=10\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，是綜合題．