Question

1．設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿足$\frac{si{n}^{2}{a}_{2}-co{s}^{2}{a}_{2}+co{s}^{2}{a}_{2}co{s}^{2}{a}_{7}-si{n}^{2}{a}_{2}si{n}^{2}{a}_{7}}{sin（{a}_{1}+{a}_{8}）}$=1，公差d∈（-1，0），若當且僅當n=11時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，則首項a₁的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{9π}{10}$，π）
• B． [π，$\frac{11π}{10}$]
• C． [$\frac{9π}{10}$，π]
• D． （π，$\frac{11π}{10}$）

Answer 1

分析 由等差數(shù)列{a_n}滿足$\frac{si{n}^{2}{a}_{2}-co{s}^{2}{a}_{2}+co{s}^{2}{a}_{2}co{s}^{2}{a}_{7}-si{n}^{2}{a}_{2}si{n}^{2}{a}_{7}}{sin（{a}_{1}+{a}_{8}）}$=1，推導(dǎo)出sin（5d）=-1，從而d=-$\frac{π}{10}$，由Sn═-$\frac{{n}^{2}}{20}$π+（a₁+$\frac{π}{20}$）n．知對稱軸方程為n=$\frac{10}{π}$（a₁+$\frac{π}{20}$），由題意當且僅當n=11時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，從而$\frac{21}{2}$＜$\frac{10}{π}$（a₁+$\frac{π}{20}$）＜$\frac{23}{2}$，由此能求出首項a₁的取值范圍．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}滿足$\frac{si{n}^{2}{a}_{2}-co{s}^{2}{a}_{2}+co{s}^{2}{a}_{2}co{s}^{2}{a}_{7}-si{n}^{2}{a}_{2}si{n}^{2}{a}_{7}}{sin（{a}_{1}+{a}_{8}）}$=1，
∴$\frac{si{n}^{2}{a}_{2}（1-si{n}^{2}{a}_{7}）-co{s}^{2}{a}_{2}（1-co{s}^{2}{a}_{7}）}{sin（{a}_{1}+{a}_{8}）}$
=$\frac{si{n}^{2}{a}_{2}co{s}^{2}{a}_{7}-co{s}^{2}{a}_{2}si{n}^{2}{a}_{7}}{sin（{a}_{1}+{a}_{8}）}$
=$\frac{（sin{a}_{2}cos{a}_{7}-cos{a}_{2}sin{a}_{7}）（sin{a}_{2}cos{a}_{7}+cos{a}_{2}sin{a}_{7}）}{sin（{a}_{1}+{a}_{8}）}$
=$\frac{sin（{a}_{2}-{a}_{7}）sin（{a}_{2}+{a}_{7}）}{sin（{a}_{1}+{a}_{8}）}$
sin（a₂-a₇）=sin（-5d）=1，
∴sin（5d）=-1，
∵d∈（-1，0），∴5d∈（-5，0），∴5d=-$\frac{π}{2}$，d=-$\frac{π}{10}$．
由S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=na₁-$\frac{n（n-1）}{2}×\frac{π}{10}$=-$\frac{{n}^{2}}{20}$π+（a₁+$\frac{π}{20}$）n．
對稱軸方程為n=$\frac{10}{π}$（a₁+$\frac{π}{20}$），
由題意當且僅當n=11時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，
∴$\frac{21}{2}$＜$\frac{10}{π}$（a₁+$\frac{π}{20}$）＜$\frac{23}{2}$，解得：π＜a₁＜$\frac{11π}{10}$．
∴首項a₁的取值范圍是（π，$\frac{11π}{10}$）．
故選：D．

點評 本題考查等差數(shù)列的首項的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、三角函數(shù)性質(zhì)的合理運用．