Question

7．已知函數(shù)f（x）=x+e^x-a，$g（x）=\frac{1}{2}1n（2x+1）-4{e^{a-x}}$，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)x₀，使f（x₀）-g（x₀）=4成立，則實數(shù)a的值為（　　）

• A． n2-1
• B． 1-1n2
• C． 1n2
• D． -1n2

Answer 1

分析 求出f（x）-g（x）的解析式，令$h（x）=x-\frac{1}{2}ln（2x+1）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，結(jié)合不等式的性質(zhì)求出對應(yīng)的a的值即可．

解答 解：f（x）-g（x）=$x-\frac{1}{2}ln（2x+1）+{e^{x-a}}+4{e^{a-x}}$，
令$h（x）=x-\frac{1}{2}ln（2x+1）$，則$h'（x）=1-\frac{1}{2x+1}$，
知h（x）在$（-\frac{1}{2}，0）$上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以h（x）_min=h（0）=0，
又${e^{x-a}}+4{e^{a-x}}≥2\sqrt{{e^{x-a}}•4{e^{a-x}}}=4$
所以f（x）-g（x）≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}x=0\\{e^{x-a}}=4{e^{a-x}}\end{array}\right.$即x=0，a=-ln2，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．