Question

12．某經(jīng)銷商從外地水產養(yǎng)殖廠購進一批小龍蝦，并隨機抽取40只進行統(tǒng)計，按重量分類統(tǒng)計結果如圖：
（1）記事件A為：“從這批小龍蝦中任取一只，重量不超過35g的小龍蝦”，求P（A）的估計值；
（2）若購進這批小龍蝦100千克，試估計這批小龍蝦的數(shù)量；
（3）為適應市場需求，了解這批小龍蝦的口感，該經(jīng)銷商將這40只小龍蝦分成三個等級，如下表：

等級	一等品	二等品	三等品
重量（g）	[5，25）	[25，45）	[45，55]

按分層抽樣抽取10只，再隨機抽取3只品嘗，記X為抽到二等品的數(shù)量，求抽到二級品的期望．

Answer 1

分析 （1）由于40只小龍蝦中重量不超過35g的小龍蝦有6+10+12（只），利用古典概率計算公式即可得出．
（2）求出其平均數(shù)，可得從統(tǒng)計圖中可以估計每只小龍蝦的重量．
（3）由題意知抽取一等品、二等品、三等品分別為4只、5只、1只，X=0，1，2，3．利用超幾何分布列的概率
的計算公式即可得出．

解答 解：（1）由于40只小龍蝦中重量不超過35g的小龍蝦有6+10+12=28（只）
所以$P（A）=\frac{28}{40}=\frac{7}{10}$．
（2）從統(tǒng)計圖中可以估計每只小龍蝦的重量$\frac{1}{40}（6×10+10×20+12×30+8×40+4×50）$
=$\frac{1140}{40}=28.5$（克）
所以購進100千克，小龍蝦的數(shù)量約有100000÷28.5≈3509（只）
（3）由題意知抽取一等品、二等品、三等品分別為4只、5只、1只，X=0，1，2，3
則可得$P（X=0）=\frac{C_5^0C_5^3}{{C_{10}^3}}=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}$，$P（X=1）=\frac{C_5^1C_5^2}{{C_{10}^3}}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}$，
$P（X=2）=\frac{C_5^2C_5^1}{{C_{10}^3}}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}$，$P（X=3）=\frac{C_5^3C_5^0}{{C_{10}^3}}=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}$
所以$E（X）=0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{5}{12}+3×\frac{1}{12}=\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了超幾何分布列及其數(shù)學期望、古典概率計算公式、平均數(shù)的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．