Question

12．一個口袋中裝有大小形狀完全相同的n+3個乒乓球，其中1個乒乓球上標(biāo)有數(shù)字1，2個乒乓球上標(biāo)有數(shù)字2，其余n個乒乓球上均標(biāo)有數(shù)字3（n∈N*），若從這個口袋中隨機(jī)地摸出2個乒乓球，恰有一個乒乓球上標(biāo)有數(shù)字2的概率是$\frac{8}{15}$．
（1）求n的值；
（2）從口袋中隨機(jī)地摸出2個乒乓球，設(shè)ξ表示所摸到的2個乒乓球上所標(biāo)數(shù)字之和，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E_ξ．

Answer 1

分析 （1）利用題設(shè)條件列出方程求出n的值；
（2）由題設(shè)知ξ取值為3，4，5，6，求出對應(yīng)的概率值，寫出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）由題意知，$\frac{{C}_{n+1}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{n+3}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
整理得2n²-5n-3=0，
解得n=3或n=-$\frac{1}{2}$（不合題意，舍去）；
∴n=3；
（2）由題設(shè)知ξ取值為3，4，5，6；
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{1}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}{+C}_{1}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{15}$，
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=6）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	3	4	5	6
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$

∴數(shù)學(xué)期望為Eξ=3×$\frac{2}{15}$+4×$\frac{4}{15}$+5×$\frac{2}{5}$+6×$\frac{1}{5}$=$\frac{14}{3}$．

點評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法問題，解題時要注意排列組合知識的合理運用，是綜合題．