Question

4．已知過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F作傾斜角120°的直線l交橢圓為A，B，若$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 方法一：由直線方程，代入橢圓方程，利用求根公式求得A和B的橫坐標(biāo)，由-y₁=2y₂．代入求得a和c的關(guān)系，利用離心率公式，即可求得橢圓的離心率；
方法二：利用橢圓的第二定義及相似三角形的性質(zhì)，求得丨AF丨=$\frac{2}{3}$丨AC丨，e=$\frac{丨AF丨}{丨AC丨}$=$\frac{2}{3}$．

解答 解：方法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知y₁＞0，y₂＜0．
直線l的斜率k=-$\sqrt{3}$，直線l方程為y=-$\sqrt{3}$（x-c），．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3a²+b²）y²-2$\sqrt{3}$b²cy-3b⁴=0，解得y₁=$\frac{\sqrt{3}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$，y₂=$\frac{\sqrt{3}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$，
由$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，則-y₁=2y₂．即-$\frac{\sqrt{3}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$=2×$\frac{\sqrt{3}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+^{2}}$，
整理得：3c=2a，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
故選D
方法二：如圖，設(shè)設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線為l，過A點作AC⊥l于C，
過點B作BD⊥l于D，再過B點作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=60°，則丨AB丨=2丨AG丨，…①
由橢圓的第二定義得：e=$\frac{丨AF丨}{丨AC丨}$=$\frac{丨BF丨}{丨BD丨}$，
∵丨$\overrightarrow{AF}$丨=2丨$\overrightarrow{FB}$丨，則丨AC丨=2丨BD丨，
直角梯形ABDC中，丨AG丨=丨AC丨-丨BD丨=$\frac{1}{2}$丨AC丨…②
由①②可知，可得丨AB丨=丨AC丨，
又∵丨AF丨=$\frac{2}{3}$丨AC丨，
∴e=$\frac{丨AF丨}{丨AC丨}$=$\frac{2}{3}$，
∴離心率為=$\frac{2}{3}$．
故選D．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的第二定義，利用橢圓的位置關(guān)系時，計算復(fù)雜，熟練掌握橢圓的第二定義，可以簡化計算，提高做題速度，屬于中檔題．