己知 定義在R上的函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=8(1-|x-1|),且對于任意的實數(shù)x∈[2n-2,2n+1-2](n∈N,且n≥2),都有f(x)=
1
2
f(
x
2
-1),若函數(shù)g(x)=f(x)-logax有且只有三個零點,則a的取值范圍為
 
考點:分段函數(shù)的應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:由g(x)=f(x)-logax=0,得f(x)=logax,分別作出函數(shù)f(x)和y=logax的圖象,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.
解答: 解:當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=8(1-|x-1|),
當(dāng)n=2時,x∈[2,6],此時
x
2
-1∈[0,2],則f(x)=
1
2
f(
x
2
-1)=
1
2
×8(1-|
x
2
-1-1|)=4(1-|
x
2
-2|),
當(dāng)n=3時,x∈[6,14],此時
x
2
-1∈[2,6],則f(x)=
1
2
f(
x
2
-1)=
1
2
×4(1-|
x
4
-
5
2
|)=2(1-|
x
4
-
5
2
|),
由g(x)=f(x)-logax=0,得f(x)=logax,分別作出函數(shù)f(x)和y=logax的圖象,
若0<a<1,則此時兩個函數(shù)圖象只有1個交點,不滿足條件.
若a>1,當(dāng)對數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過A時,兩個圖象只有2個交點,當(dāng)圖象經(jīng)過點B時,兩個函數(shù)有4個交點,
則要使兩個函數(shù)有3個交點,則對數(shù)函數(shù)圖象必須在A點以下,B點以上,
∵f(4)=4,f(10)=2,∴A(4,2),B(10,2),
即滿足
loga4<f(4)
loga10>f(10)

loga4<4
loga10>2
,解得
a4>4
a2<10

即2<a2<10,
∵a>1,
2
<a<
10

故則a的取值范圍為是(
2
,
10
),
故答案為:(
2
10
點評:本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用,利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系,將條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,有一點的難度.
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1
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a
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