Question

【題目】已知函數(shù),其中常數(shù).

(1)當時,的最小值;

(2)討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由;

(3)當時,是否存在實數(shù),使得不等式對任意恒成立?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)2(2)見解析(3)存在,

【解析】

(1)直接利用不等式的基本性質(zhì)求最值;

(2)利用及求得值,從而得到函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的的取值;

(3)由原函數(shù)可得當時,函數(shù)在上是減函數(shù),利用單調(diào)性直接轉(zhuǎn)化為恒成立,分離參數(shù)求解即可得到值.

(1)當時,,

當且僅當,即時取等號;

(2)的定義域為,,

,

由,得,即,

∴,即;

由,得,即,

∴,即.

∴當時,函數(shù)為偶函數(shù);當時,函數(shù)為奇函數(shù);

當且時,為非奇非偶函數(shù);

(3)當時,,.

當時,,

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,在上是減函數(shù),

要使,只要,

即①

設(shè),則函數(shù)在上的最大值為2.

要使①式恒成立,必須,即或.

∴在區(qū)間上存在,使得原不等式對任意的恒成立.