Question

18．已知正項(xiàng)數(shù)列n的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1²=S_n+1+S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}={a_{2n-1}}•{2^{a_n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，將n換為n-1，相減，再結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，運(yùn)用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）正項(xiàng)數(shù)列n的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1²=S_n+1+S_n，①
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n²=S_n+S_n-1②
①-②可得a_n+1²-a_n²=（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，
可得a_n+1-a_n=1，
則數(shù)列{a_n}是從第二項(xiàng)起，公差為1的等差數(shù)列，
a₂²=S₂+S₁=a₁+a₂+a₁=2+a₂，
解得a₂=2（-1舍去），
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₂+（n-2）d=2+n-2=n；
上式對(duì)n=1也成立．
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n（n∈N*）；
（2）由（1）得
${b_n}={a_{2n-1}}•{2^{a_n}}=（{2n-1}）•{2^n}，{T_n}=2+3•{2^2}+5•{2^3}+…+（{2n-1}）•{2^n}$，③
$2{T_n}={2^2}+3•{2^3}+…+（{2n-3}）•{2^n}+（{2n-1}）•{2^{n+1}}$，④
③-④得，$-{T_n}=2+2×{2^2}+…+2×{2^n}-（{2n-1}）•{2^{n+1}}$，
所以$-{T_n}=2+\frac{{{2^3}•（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}-（{2n-1}）•{2^{n+1}}$，
故${T_n}=（{2n-3}）•{2^{n+1}}+6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．