Question

7．若對?m，n∈R，有g(shù)（m+n）=g（m）+g（n）-3，求$f（x）=\frac{{x\sqrt{1-{x^2}}}}{{{x^2}+1}}+g（x）$的最大值與最小值之和是（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 構(gòu)造h（x）=g（x）-3，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判定函數(shù)h（x）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求出答案．

解答 解：∵?m，n∈R，有g(shù)（m+n）=g（m）+g（n）-3，
∴令m=n=0時，g（0）=g（0）+g（0）-3，
∴g（0）=3，
令m=-n時，g（0）=g（-n）+g（n）-3，
∴g（x）+g（-x）=6，
令h（x）=g（x）-3，則h（x）+h（-x）=0即h（x）為奇函數(shù)，
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，它的最大值與最小值互為相反數(shù)，∴g（x）_max+g（-x）_min=6，
設(shè)F（x）=$\frac{x\sqrt{1-{x}^{2}}}{{x}^{2}+1}$，則F（-x）=-F（x），函數(shù)為奇函數(shù)，最大值與最小值之和為0，
∴．$f（x）=\frac{{x\sqrt{1-{x^2}}}}{{{x^2}+1}}+g（x）$的最大值與最小值之和是6．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，主要考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，解決本題的關(guān)鍵是恰當(dāng)構(gòu)造奇函數(shù)．屬于中檔題．