Question

7．己知三棱錐A-BCO，OA，OB，OC兩兩垂直且長(zhǎng)度均為6，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱OA上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面BCO內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），則MN的中點(diǎn)P的軌跡與三棱錐的O點(diǎn)所在的三個(gè)面所圍成的幾何體的表面積為（　　）

• A． $\frac{5π}{2}$
• B． $\frac{5π}{4}$
• C． $\frac{3+π}{2}$
• D． 3+π

Answer 1

分析 由于長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱OA上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在△BCO內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），有空間想象能力可知MN的中點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)為球心，以1為半徑的球體，即MN的中點(diǎn)P的軌跡與三棱錐的O點(diǎn)所在的三個(gè)面所圍成的幾何體為該球體的$\frac{1}{8}$，進(jìn)而利用圓的面積公式及球體的表面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：因?yàn)殚L(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱OA上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在△BCO內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），
由空間想象能力可知MN的中點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)為球心，以1為半徑的球體，
則MN的中點(diǎn)P的軌跡與三棱錐的O點(diǎn)所在的三個(gè)面所圍成的幾何體為該球體的$\frac{1}{8}$，
即：S=$\frac{1}{8}×4π×{1}^{2}$+$\frac{1}{4}$π×1²×3=$\frac{5π}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了學(xué)生的空間想象能力，還考查了球體，三棱錐的面積公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．