Question

8．已知點A（-$\sqrt{3}$，0）和點B（$\sqrt{3}$，0），動點M到A點的距離是4，線段MB的垂直平分線交線段MA于點P．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若直線l過點D（1，0）且與橢圓交于E，F(xiàn)兩點，求△OEF面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形，利用垂直平分線轉(zhuǎn)換線段的關(guān)系得到PA+PB=4，據(jù)橢圓的定義即可得到動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)l：x=my+1代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，消去x，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），運用韋達(dá)定理，求出|y₁-y₂|的最大值，利用三角形的面積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）點A（-$\sqrt{3}$，0）和點B（$\sqrt{3}$，0），
動點M到A點的距離是4，
由線段MB的垂直平分線交MA于點P知，PB=PM，
故PA+PB=PA+PM=AM=4
AB=2$\sqrt{3}$，即P點的軌跡為以A、B為焦點的橢圓，
中心為（0，0），可得a=2，c=$\sqrt{3}$，則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
故P點的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）設(shè)l：x=my+1代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
得（4+m²）y²+2my-3=0，
∵△=（2m）²+4×3×（4+m²）＞0顯然成立，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂
=（-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$）²+$\frac{12}{4+{m}^{2}}$=$\frac{16{m}^{2}+48}{（4+{m}^{2}）^{2}}$，
可設(shè)4+m²=t（t≥4），即有m²=t-4，
可得$\frac{16{m}^{2}+48}{（4+{m}^{2}）^{2}}$=$\frac{16t-16}{{t}^{2}}$=-16（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$）²+4，
由于0＜$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{4}$，可得$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{4}$，即t=4，m=0時，|y₁-y₂|²取得最大值3，
即有|y₁-y₂|的最大值為$\sqrt{3}$，
則△OEF面積為S=$\frac{1}{2}$×|OD|×|y₁-y₂|≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即當(dāng)直線l垂直于x軸時，△OEF面積取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與橢圓的關(guān)系，三角形的面積公式與二次函數(shù)的最值的求法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．