Question

5．定義方程f（x）=f'（x）的實(shí)數(shù)根x₀叫做函數(shù)f（x）的“新駐點(diǎn)”，如果函數(shù)g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（$x∈（\frac{π}{2}，\;π）$）的“新駐點(diǎn)”分別為α，β，γ，則α，β，γ從小到大排列是β、α、φ．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分別對g（x），h（x），φ（x）求導(dǎo)，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），則它們的根分別為α，β，γ，比較大小即可得答案．

解答 解：對于函數(shù)g（x）=x，有g(shù)′（x）=1，
若g（x）=g′（x），即x=1，
g（x）=x的“新駐點(diǎn)”為α，
則有α=1，
對于h（x）=ln（x+1），有h′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
若h（x）=h′（x），即ln（x+1）=$\frac{1}{x+1}$，
h（x）=ln（x+1）的新駐點(diǎn)為β，
則有l(wèi)n（β+1）=$\frac{1}{β+1}$，
分析可得：0＜β＜1，
對于φ（x）=cosx，有φ′（x）=-sinx，
若φ（x）=φ′（x），即cosx=-sinx，
則有tanx=-1，
φ（x）=cosx的新駐點(diǎn)為φ，
則有φ=$\frac{3π}{4}$，
綜合可得：β＜α＜φ；
故答案為：β、α、φ．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，涉及方程根的大小的分析討論，其中對對數(shù)方程和三次方程根的范圍的討論是一個(gè)難點(diǎn)．