Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-3，4），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$（λ∈R）．
（1）若$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，求|$\overrightarrow{c}$|的值；
（2）λ何值時，$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$的夾角最小？此時$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$的位置關(guān)系如何？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算與數(shù)量積運算，求出$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)表示，再求|$\overrightarrow{c}$|；
（2）解法一：設(shè)$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，根據(jù)夾角θ最小時θ=0，求出λ的值，并得出$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$共線同向．
解法二：設(shè)$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，求出夾角的表達(dá)式，利用夾角最小求出θ的值，得出λ，從而得出$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$共線同向．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-3，4），
∴$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$=（1-3λ，2+4λ）；
又$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=-3（1-3λ）+4（2+4λ）=5+25λ=0，
解得λ=-$\frac{1}{5}$，
∴$\overrightarrow{c}$=（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（\frac{8}{5}）}^{2}{+（\frac{6}{5}）}^{2}}$=2；
（2）解法一：設(shè)$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，θ∈[0，π]，
要使夾角θ最小，則θ=0，即$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$共線同向；
∵$\overrightarrow{c}$=（1-3λ，2+4λ），$\overrightarrow{a}$=（1，2），且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，
∴2（1-3λ）=2+4λ，解得λ=0，
此時$\overrightarrow{c}$=（1，2），滿足$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$共線同向．
解法二：設(shè)$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，則
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{5+5λ}{\sqrt{5}×\sqrt{2{5λ}^{2}+10λ+5}}$=$\frac{1+λ}{\sqrt{{5λ}^{2}+2λ+1}}$，
要$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$的夾角最小，則cosθ最大，
∵0≤θ≤π，故cosθ的最大值為1，此時θ=0，cosθ=1，
∴$\frac{1+λ}{\sqrt{{5λ}^{2}+2λ+1}}$=1，
解得λ=0，
∴$\overrightarrow{c}$=（1，2）；
∴λ=0時，$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$的夾角最小，此時$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$共線同向．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運算的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．