Question

16．（1）求證：$\sqrt{8}-\sqrt{6}＜\sqrt{5}-\sqrt{3}$．
（2）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：
sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°；
sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
①試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；
②根據(jù)①的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式．

Answer 1

分析 （1）兩邊平方證明即可；
（2）①根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二倍角公式計算即可；②根據(jù)計算結(jié)果推廣公式即可．

解答 （1）證明：要證明$\sqrt{8}-\sqrt{6}＜\sqrt{5}-\sqrt{3}$成立，
只需證明$\sqrt{8}+\sqrt{3}＜\sqrt{5}+\sqrt{6}$，…（3分）
即${（\sqrt{8}+\sqrt{3}）^2}＜{（\sqrt{5}+\sqrt{6}）^2}$，
即$8+2\sqrt{24}+3＜5+2\sqrt{30}+6$…（7分）
從而只需證明$2\sqrt{24}＜2\sqrt{30}$
即24＜30，這顯然成立．
這樣，就證明了$\sqrt{8}-\sqrt{6}＜\sqrt{5}-\sqrt{3}$…（9分）
（2）解：①選擇（2）式，計算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
=1-$\frac{1}{2}$sin30°
=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．…（14分）
②三角恒等式為sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．…（17分）

點評 本題考查了簡單的合情推理問題，考查三角函數(shù)的恒等變換以及不等式的證明，是一道中檔題．